DigammaEqualityLemma.java

package org.drip.specialfunction.property;

/*
 * -*- mode: java; tab-width: 4; indent-tabs-mode: nil; c-basic-offset: 4 -*-
 */

/*!
 * Copyright (C) 2020 Lakshmi Krishnamurthy
 * Copyright (C) 2019 Lakshmi Krishnamurthy
 * 
 *  This file is part of DROP, an open-source library targeting analytics/risk, transaction cost analytics,
 *      asset liability management analytics, capital, exposure, and margin analytics, valuation adjustment
 *      analytics, and portfolio construction analytics within and across fixed income, credit, commodity,
 *      equity, FX, and structured products. It also includes auxiliary libraries for algorithm support,
 *      numerical analysis, numerical optimization, spline builder, model validation, statistical learning,
 *      and computational support.
 *  
 *      https://lakshmidrip.github.io/DROP/
 *  
 *  DROP is composed of three modules:
 *  
 *  - DROP Product Core - https://lakshmidrip.github.io/DROP-Product-Core/
 *  - DROP Portfolio Core - https://lakshmidrip.github.io/DROP-Portfolio-Core/
 *  - DROP Computational Core - https://lakshmidrip.github.io/DROP-Computational-Core/
 * 
 *  DROP Product Core implements libraries for the following:
 *  - Fixed Income Analytics
 *  - Loan Analytics
 *  - Transaction Cost Analytics
 * 
 *  DROP Portfolio Core implements libraries for the following:
 *  - Asset Allocation Analytics
 *  - Asset Liability Management Analytics
 *  - Capital Estimation Analytics
 *  - Exposure Analytics
 *  - Margin Analytics
 *  - XVA Analytics
 * 
 *  DROP Computational Core implements libraries for the following:
 *  - Algorithm Support
 *  - Computation Support
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 *  - Model Validation
 *  - Numerical Analysis
 *  - Numerical Optimizer
 *  - Spline Builder
 *  - Statistical Learning
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 */

/**
 * <i>DigammaEqualityLemma</i> contains the Verifiable Equality Lemmas of the Digamma Function. The
 * References are:
 * 
 * <br><br>
 *  <ul>
 *      <li>
 *          Blagouchine, I. V. (2014): Re-discovery of Malmsten's Integrals, their Evaluation by Contour
 *              Integration Methods, and some Related Results <i>Ramanujan Journal</i> <b>35 (1)</b> 21-110
 *      </li>
 *      <li>
 *          Borwein, J. M., and R. M. Corless (2017): Gamma Function and the Factorial in the Monthly
 *              https://arxiv.org/abs/1703.05349 <b>arXiv</b>
 *      </li>
 *      <li>
 *          Davis, P. J. (1959): Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function
 *              <i>American Mathematical Monthly</i> <b>66 (10)</b> 849-869
 *      </li>
 *      <li>
 *          Whitaker, E. T., and G. N. Watson (1996): <i>A Course on Modern Analysis</i> <b>Cambridge
 *              University Press</b> New York
 *      </li>
 *      <li>
 *          Wikipedia (2019): Gamma Function https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
 *      </li>
 *  </ul>
 *
 *  <br><br>
 *  <ul>
 *      <li><b>Module </b> = <a href = "https://github.com/lakshmiDRIP/DROP/tree/master/ComputationalCore.md">Computational Core Module</a></li>
 *      <li><b>Library</b> = <a href = "https://github.com/lakshmiDRIP/DROP/tree/master/FunctionAnalysisLibrary.md">Function Analysis Library</a></li>
 *      <li><b>Project</b> = <a href = "https://github.com/lakshmiDRIP/DROP/tree/master/src/main/java/org/drip/specialfunction/README.md">Special Function Implementation Analysis</a></li>
 *      <li><b>Package</b> = <a href = "https://github.com/lakshmiDRIP/DROP/tree/master/src/main/java/org/drip/specialfunction/property/README.md">Special Function Property Lemma Verifiers</a></li>
 *  </ul>
 *
 * @author Lakshmi Krishnamurthy
 */

public class DigammaEqualityLemma
{

    /**
     * Generate the Digamma (0, 1) Reflection Formula Verifier
     * 
     * @return The Digamma (0, 1) Reflection Formula Verifier
     */

    public static final org.drip.function.definition.R1ToR1Property ReflectionFormula()
    {
        final org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator abramowitzStegun2007 =
            org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator.AbramowitzStegun2007 (1638400);

        try
        {
            return new org.drip.function.definition.R1ToR1Property (
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.EQ,
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double z)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (z))
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::ReflectionFormula::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        return abramowitzStegun2007.evaluate (1. - z) - abramowitzStegun2007.evaluate (z);
                    }
                },
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double z)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (z))
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::ReflectionFormula::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        return java.lang.Math.PI / java.lang.Math.tan (java.lang.Math.PI * z);
                    }
                },
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.MISMATCH_TOLERANCE
            );
        }
        catch (java.lang.Exception e)
        {
            e.printStackTrace();
        }

        return null;
    }

    /**
     * Generate the Gaussian Finite Summation Identity Verifier #1
     * 
     * @return The Gaussian Finite Summation Identity Verifier #1
     */

    public static final org.drip.function.definition.R1ToR1Property SummationIdentity1()
    {
        final org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator abramowitzStegun2007 =
            org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator.AbramowitzStegun2007 (1638400);

        try
        {
            return new org.drip.function.definition.R1ToR1Property (
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.EQ,
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity1::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;

                        for (int r = 1; r <= m; ++r)
                        {
                            summation = summation + abramowitzStegun2007.evaluate (((double) r) / ((double) m));
                        }

                        return summation;
                    }
                },
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity1::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        return -m * (org.drip.specialfunction.gamma.Definitions.EULER_MASCHERONI +
                            java.lang.Math.log (m));
                    }
                },
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.MISMATCH_TOLERANCE
            );
        }
        catch (java.lang.Exception e)
        {
            e.printStackTrace();
        }

        return null;
    }

    /**
     * Generate the Gaussian Finite Summation Identity Verifier #2
     * 
     * @param k k
     * 
     * @return The Gaussian Finite Summation Identity Verifier #2
     */

    public static final org.drip.function.definition.R1ToR1Property SummationIdentity2 (
        final int k)
    {
        final org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator abramowitzStegun2007 =
            org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator.AbramowitzStegun2007 (1638400);

        try
        {
            return new org.drip.function.definition.R1ToR1Property (
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.EQ,
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m || m <= k)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity2::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;

                        for (int r = 1; r < m; ++r)
                        {
                            double z = ((double) r) / ((double) m);

                            summation = summation + abramowitzStegun2007.evaluate (z) *
                                java.lang.Math.cos (2. * java.lang.Math.PI * k * z);
                        }

                        return summation;
                    }
                },
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m || m <= k)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity2::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        return m * java.lang.Math.log (2. * java.lang.Math.sin (java.lang.Math.PI * k / m)) +
                            org.drip.specialfunction.gamma.Definitions.EULER_MASCHERONI;
                    }
                },
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.MISMATCH_TOLERANCE
            );
        }
        catch (java.lang.Exception e)
        {
            e.printStackTrace();
        }

        return null;
    }

    /**
     * Generate the Gaussian Finite Summation Identity Verifier #3
     * 
     * @param k k
     * 
     * @return The Gaussian Finite Summation Identity Verifier #3
     */

    public static final org.drip.function.definition.R1ToR1Property SummationIdentity3 (
        final int k)
    {
        final org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator abramowitzStegun2007 =
            org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator.AbramowitzStegun2007 (1638400);

        try
        {
            return new org.drip.function.definition.R1ToR1Property (
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.EQ,
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m || m <= k)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity3::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;

                        for (int r = 1; r < m; ++r)
                        {
                            double z = ((double) r) / ((double) m);

                            summation = summation + abramowitzStegun2007.evaluate (z) *
                                java.lang.Math.sin (2. * java.lang.Math.PI * k * z);
                        }

                        return summation;
                    }
                },
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m || m <= k)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity3::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        return 0.5 * java.lang.Math.PI * (2. * k - m);
                    }
                },
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.MISMATCH_TOLERANCE
            );
        }
        catch (java.lang.Exception e)
        {
            e.printStackTrace();
        }

        return null;
    }

    /**
     * Generate the Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #4
     * 
     * @param k k
     * 
     * @return The Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #4
     */

    public static final org.drip.function.definition.R1ToR1Property SummationIdentity4 (
        final int k)
    {
        final org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator abramowitzStegun2007 =
            org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator.AbramowitzStegun2007 (1638400);

        try
        {
            return new org.drip.function.definition.R1ToR1Property (
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.EQ,
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m || m <= k)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity4::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;

                        for (int r = 0; r < m; ++r)
                        {
                            double z = (2. * r + 1.) / (2. * m);

                            summation = summation + abramowitzStegun2007.evaluate (z) *
                                java.lang.Math.cos (2. * java.lang.Math.PI * k * z);
                        }

                        return summation;
                    }
                },
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m || m <= k)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity4::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        return m * java.lang.Math.log (java.lang.Math.tan (0.5 * java.lang.Math.PI * k / m));
                    }
                },
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.MISMATCH_TOLERANCE
            );
        }
        catch (java.lang.Exception e)
        {
            e.printStackTrace();
        }

        return null;
    }

    /**
     * Generate the Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #5
     * 
     * @param k k
     * 
     * @return The Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #5
     */

    public static final org.drip.function.definition.R1ToR1Property SummationIdentity5 (
        final int k)
    {
        final org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator abramowitzStegun2007 =
            org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator.AbramowitzStegun2007 (1638400);

        try
        {
            return new org.drip.function.definition.R1ToR1Property (
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.EQ,
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m || m <= k)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity5::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;

                        for (int r = 0; r < m; ++r)
                        {
                            double z = (2. * r + 1.) / (2. * m);

                            summation = summation + abramowitzStegun2007.evaluate (z) *
                                java.lang.Math.sin (2. * java.lang.Math.PI * k * z);
                        }

                        return summation;
                    }
                },
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m || m <= k)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity5::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        return -0.5 * java.lang.Math.PI * m;
                    }
                },
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.MISMATCH_TOLERANCE
            );
        }
        catch (java.lang.Exception e)
        {
            e.printStackTrace();
        }

        return null;
    }

    /**
     * Generate the Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #6
     * 
     * @return The Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #6
     */

    public static final org.drip.function.definition.R1ToR1Property SummationIdentity6()
    {
        final org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator abramowitzStegun2007 =
            org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator.AbramowitzStegun2007 (1638400);

        try
        {
            return new org.drip.function.definition.R1ToR1Property (
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.EQ,
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity6::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;

                        for (int r = 1; r < m; ++r)
                        {
                            double z = ((double) r) / ((double) m);

                            summation = summation + abramowitzStegun2007.evaluate (z) /
                                java.lang.Math.tan (java.lang.Math.PI * z);
                        }

                        return summation;
                    }
                },
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity6::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        return -java.lang.Math.PI * (m - 1.) * (m - 2.) / 6.;
                    }
                },
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.MISMATCH_TOLERANCE
            );
        }
        catch (java.lang.Exception e)
        {
            e.printStackTrace();
        }

        return null;
    }

    /**
     * Generate the Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #7
     * 
     * @return The Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #7
     */

    public static final org.drip.function.definition.R1ToR1Property SummationIdentity7()
    {
        final org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator abramowitzStegun2007 =
            org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator.AbramowitzStegun2007 (1638400);

        try
        {
            return new org.drip.function.definition.R1ToR1Property (
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.EQ,
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity7::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;

                        for (int r = 1; r < m; ++r)
                        {
                            double z = ((double) r) / ((double) m);

                            summation = summation + z * abramowitzStegun2007.evaluate (z);
                        }

                        return summation;
                    }
                },
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity7::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;

                        for (int r = 1; r < m; ++r)
                        {
                            double z = ((double) r) / ((double) m);

                            summation = summation + z / java.lang.Math.tan (java.lang.Math.PI * z);
                        }

                        return -0.5 * org.drip.specialfunction.gamma.Definitions.EULER_MASCHERONI * (m - 1.)
                            - 0.5 * m * java.lang.Math.log (m)
                            - 0.5 * java.lang.Math.PI * summation;
                    }
                },
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.MISMATCH_TOLERANCE
            );
        }
        catch (java.lang.Exception e)
        {
            e.printStackTrace();
        }

        return null;
    }

    /**
     * Generate the Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #8
     * 
     * @param l l
     * 
     * @return The Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #8
     */

    public static final org.drip.function.definition.R1ToR1Property SummationIdentity8 (
        final double l)
    {
        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (l))
        {
            return null;
        }

        final org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator abramowitzStegun2007 =
            org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator.AbramowitzStegun2007 (1638400);

        try
        {
            return new org.drip.function.definition.R1ToR1Property (
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.EQ,
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity8::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;

                        for (int r = 1; r < m; ++r)
                        {
                            double z = ((double) r) / ((double) m);

                            summation = summation + abramowitzStegun2007.evaluate (z) *
                                java.lang.Math.cos ((2. * l + 1.) * java.lang.Math.PI * z);
                        }

                        return summation;
                    }
                },
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity8::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;

                        for (int r = 1; r < m; ++r)
                        {
                            double z = ((double) r) / ((double) m);

                            double theta = 2. * java.lang.Math.PI * z;

                            summation = summation + r * java.lang.Math.sin (theta) / (
                                java.lang.Math.cos (theta) -
                                java.lang.Math.cos ((2. * l + 1.) * java.lang.Math.PI / m)
                            );
                        }

                        return -1. * java.lang.Math.PI / m * summation;
                    }
                },
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.MISMATCH_TOLERANCE
            );
        }
        catch (java.lang.Exception e)
        {
            e.printStackTrace();
        }

        return null;
    }

    /**
     * Generate the Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #9
     * 
     * @param l l
     * 
     * @return The Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #9
     */

    public static final org.drip.function.definition.R1ToR1Property SummationIdentity9 (
        final double l)
    {
        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (l))
        {
            return null;
        }

        final org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator abramowitzStegun2007 =
            org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator.AbramowitzStegun2007 (1638400);

        try
        {
            return new org.drip.function.definition.R1ToR1Property (
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.EQ,
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity9::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;

                        for (int r = 1; r < m; ++r)
                        {
                            double z = ((double) r) / ((double) m);

                            summation = summation + abramowitzStegun2007.evaluate (z) *
                                java.lang.Math.sin ((2. * l + 1.) * java.lang.Math.PI * z);
                        }

                        return summation;
                    }
                },
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity9::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;
                        double twoLPlus1PiByM = (2. * l + 1.) * java.lang.Math.PI / m;

                        double cos2LPlus1PiByM = java.lang.Math.cos (twoLPlus1PiByM);

                        for (int r = 1; r < m; ++r)
                        {
                            double z = ((double) r) / ((double) m);

                            double theta = java.lang.Math.PI * z;

                            summation = summation + java.lang.Math.log (java.lang.Math.sin (theta)) /
                                (java.lang.Math.cos (2. * theta) - cos2LPlus1PiByM);
                        }

                        return java.lang.Math.sin (twoLPlus1PiByM) * summation - 
                            (
                                org.drip.specialfunction.gamma.Definitions.EULER_MASCHERONI +
                                java.lang.Math.log (2. * m)
                            ) / java.lang.Math.tan (0.5 * twoLPlus1PiByM);
                    }
                },
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.MISMATCH_TOLERANCE
            );
        }
        catch (java.lang.Exception e)
        {
            e.printStackTrace();
        }

        return null;
    }

    /**
     * Generate the Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #10
     * 
     * @return The Blagouchine Finite Summation Identity Verifier #10
     */

    public static final org.drip.function.definition.R1ToR1Property SummationIdentity10()
    {
        final org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator abramowitzStegun2007 =
            org.drip.specialfunction.digamma.CumulativeSeriesEstimator.AbramowitzStegun2007 (1638400);

        try
        {
            return new org.drip.function.definition.R1ToR1Property (
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.EQ,
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity10::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;

                        for (int r = 1; r < m; ++r)
                        {
                            double digamma = abramowitzStegun2007.evaluate ((double) r) / ((double) m);

                            summation = summation + digamma * digamma;
                        }

                        return summation;
                    }
                },
                new org.drip.function.definition.R1ToR1 (null)
                {
                    @Override public double evaluate (
                        final double m)
                        throws java.lang.Exception
                    {
                        if (!org.drip.numerical.common.NumberUtil.IsValid (m) || 0. >= m)
                        {
                            throw new java.lang.Exception
                                ("DigammaEqualityLemma::SummationIdentity10::evaluate => Invalid Inputs");
                        }

                        double summation = 0.;

                        for (int l = 1; l < m; ++l)
                        {
                            double logSinPiLByM = java.lang.Math.log (
                                java.lang.Math.sin (
                                    java.lang.Math.PI * l / m
                                )
                            );

                            summation = summation + logSinPiLByM * logSinPiLByM;
                        }

                        double log2 = java.lang.Math.log (2.);

                        return
                            (m - 1.) * org.drip.specialfunction.gamma.Definitions.EULER_MASCHERONI *
                                org.drip.specialfunction.gamma.Definitions.EULER_MASCHERONI +
                            m * (
                                2. * org.drip.specialfunction.gamma.Definitions.EULER_MASCHERONI +
                                java.lang.Math.log (4. * m)
                            ) * java.lang.Math.log (m) -
                            log2 * log2 * m * (m - 1.) +
                            java.lang.Math.PI * java.lang.Math.PI / 12. * (2. - 3. * m + m * m) +
                            m * summation;
                    }
                },
                org.drip.function.definition.R1ToR1Property.MISMATCH_TOLERANCE
            );
        }
        catch (java.lang.Exception e)
        {
            e.printStackTrace();
        }

        return null;
    }
}